Hipérbola_2°_5_Equipo 03: junio 2012

jueves, 28 de junio de 2012

Universidad Autónoma Chapingo

Área de Matemáticas

Geometría Analítica

4ª Evaluación UNIDAD VI: Hipérbola

Profesor: Juan Suarez Sánchez

Equipo 3 2°5

Coordinador del equipo: Sánchez Luisa Delfino

Integrantes:

Díaz Canseco Anel

Dorantes Iturbide Adilene

Francisco Cruz Yoman Silvano

Gómez Mota Pascual Antonio

Hernández Díaz Magdalena

Martínez de la Brena Danya Guadalupe

Quintero Fernández Daniela

Trejo Reséndiz Nohely Yoali

Fecha de Entrega: 28/ Junio / 2012

LA HIPERBOLA

1.- DEFINICIÓN

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

La definición de la hipérbola excluye el caso en que el punto móvil se mueva sobre la recta que pasa por los puntos a excepción del segmento comprendido entre ellos. Los focos y el punto medio de este segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico.

La hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y F', es constante. Es decir: es siempre una cantidad constante 2a

Esto es |PF´-PF| = 2a

2.- ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

Si para una curva dada, existe una recta tal, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente en el origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dichas recta se llama asíntota de la curva.

Esta definición implica dos casos:

1) Una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, si no que se extiende indefinidamente

2) Una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado.

Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal; si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical; y si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados asíntota oblicua. Debemos tener presente que una curva no tiene necesariamente una o mas asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo, si una curva tiene asíntotas, su determinación será una gran ayuda para construir su grafica.

Observa la Figura 10. En el punto P se ha dibujado la tangente a la hipérbola. Al hacer que P se aleje sobre la hipérbola, la tangente va disminuyendo su inclinación (ángulo que forma la recta con la horizontal), de manera que tiende a una posición límite (Figura 9), que coincide con una generatriz, y que pasa por el centro de la hipérbola.

Figura 10

Figura 9

De esta forma, la asíntota tendría la siguiente posición respecto a la hipérbola:

Colocando todos los elementos sobre el gráfico nos encontramos entonces con:

Son las rectas de ecuaciones:

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

Estas ecuaciones provienen de la ecuación llamada simétrica:

Consideremos que la rama derecha de la hipérbola se prolonga indefinidamente, cuando X crece indefinidamente también, se tiene que el cociente a^2/x^2 tiende a cero, por lo que, el subradical tiende a tomar el valor de la unidad. De esta manera la expresión anterior toma la forma.

Y = ± b/a x.

3.- GRAFICACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA

Para construir una hipérbola con regla y compas, suponemos conocidos como los focos F, F’, la cantidad constante 2a y el procedimiento es como sigue:

Se obtiene el punto medio de F, F’ que es el centro “C” de la hipérbola.

Por el centro C se traza la perpendicular a F, F’(que es el eje conjugado)

A partir del centro C, se señalan los vértices A, A’ que están a la distancia “a” de C o sea que CA’=CA=a.

Se construye el rectángulo de los ejes transverso y conjugado y se trazan las diagonales que son las asíntotas dela hipérbola.

Se marcan puntos cualesquiera de izquierda a derecha de F y a la izquierda de F’, por ejemplo los simétricos P₁, P’₁, P₂, P’₂, P₃, P’₃, P₄, P’₄, P₅, P’₅,…

Con centro en los focos y radios A’P₁, AP₁, se obtienen las intersecciones 1 que son puntos de la hipérbola ya que 1F’-1F=AA’=2a, repitiendo esto con los radios A’P₂, AP₂, A’P₃, AP₃, A’P₄, AP₄, A’P₅, AP₅, se obtienen las intersecciones 2, 3, 4, 5, que uniéndose con trazo continuo se obtiene una curva.

4. Puntos notables:

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

5.- HIPÉRBOLA: CON CENTRO EL ORIGEN.

Para este tipo de curva las coordenadas de los focos son: F¬¬1(-c,0) y F2(c,0)

Las condiciones de movimiento del punto M(x,y) según definición es:

MF¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬1-MF2=2a=Constante=2 a…………………………………………………………………(1)

Pero de acuerdo la exprecion para la distancia entre dos puntos tenemos:

MF1=√(〖(x+c)〗^2+〖(y+0)〗^2 ) y MF2=√(〖(x-c)〗^2+〖(y+0)〗^2 )

Sustituyendo en (1), tenemos:

√(〖(x-c)〗^2+〖(y+0)〗^2 ) - √(〖(x-c)〗^2+〖(y+0)〗^2 ) = 2a

Despejando al primer radical:

√(〖(x+c)〗^2+y^2 ) = 2a + √(〖(x-c)〗^2+y^2 )

Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando:

〖√((x+c)^2+y^2 )〗^( 2)= (2a +〖√(〖(x-c)〗^2+y^2 ))〗^2

x2 + 2c + c2 + y2 = 4a2 + 4a√(〖(x-c)〗^2+y^2 )+x2 – 2c x + c2 + y2

Reduciendo términos semejantes:

4 c x -4 a^2=4a√(〖(x-c)〗^2+y^2 )

Dividiendo entre 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

〖(cx-a^2)〗^2 = 〖(a√((x-c)^2+y^2 ))〗^2

c2 x2 - 2a2 c x + a4 = a2 x2 - 2a2 c x + a2 c2 + a2 y2

c2 x2 - a2 x2 - a2 y2 = a2 c2 - a4

Factorizando:

(c2-a2)x2- a2 y2=a2(c2-a2)……………………………………………………………………………………………….(2)

Para transformar mas esta ecuación, tomaremos en cuenta, refiriéndonos al triangulo F1MF2 de nuestra Figura 2, que cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos; esto permite escribir que:

F1F2 ˃ MF1-MF2

Pero como F1F2=2c y tomando en consideración la ecuación (1), se tiene:

2c˃2a

Dividiendo entre dos y elevando al cuadrado:

c˃a

c2˃a2

Por tanto:

c2-a2˃0

Como la ultima desigualdad expresa que la diferencia c2-a2 es constante y positiva, podemos expresarla de la siguiente manera por otra constante b2:

c2-a2=b2

Sustituyendo en la ecuación (2) queda:

b2 x2 - a2 y2 = a2 b2………………………………………………………………………………………………………………………….(3)

Que es la siguiente ecuación definida de la hipérbola, la que también, al dividir entre a2b2, puede expresarse en la siguiente forma:

(b^2 x^2)/(a^2 b^2 ) - (a^2 y^2)/(a^2 b^2 )= (a^2 b^2)/(a^2 b^2 )

Simplificando:

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1………………………………………………………………………………………………………………………………….(I)

Ecuación llamada SIMÉTRICA

ECUACION DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

Cuando una hipérbola es de este tipo, sus focos son F1(0,-c) y F2(0,c) y están sobre el eje de las y.

Obtendremos su ecuación procedimiento igualmente que otros casos ya vistos que presentamos mediante una ecuación de la condición movimientos que deben satisfacer todos los puntos de la curva según su definición.

Sea M(x,y) un punto cualquiera su condicion de movimiento es:

MF1MF2=2a.......................................................................................................................................(1)

Pero:

MF1=√(x^2+〖(y+c)〗^2 ) ; MF2=√(x^2+〖(y-c)〗^2 )

Sustituyendo en la ecuacion (1) se tiene:

√(x^2+〖(y-c)〗^2 )-√(x^2+(y-c)^2 )=2a.

Despejando el primer radical:

√(x^2+(y+c)^2 )=2a+√(x^2+〖(y-c)〗^2 )

Elevando al cuadrado, simplficando terminos semejantes y dividiendo entre 4:

cy-a^2=a√(x^2+〖(y-c)〗^2 )

Elevando al cuadrado de nuevo:

c^2 y^2-a^2 y^2-a^2 x^2=a^2 c^2-a^4

Factorizando:

(c^2-a^2 ) y^2-a^2 x^2=a^2 (c^2-a^2)

A observar la grafica detenidamente se muestra que podemos obtener la siguiente ecucion a partir del teorema de pitagoras

c^2=a^2+b^2 ∴ b^2=c^2-a^2

Sustituyendo, obtenemos la siguiente ecuacion:

b^2 y^2-a^2 x^2=a^2 b^2

Dividiendo entre a^2 b^2, se tiene la forma simetrica de la ecuacion de la hiperbola de este tipo:

y^2/a^2 -x^2/b^2 =1................................................................................................................................(III)

6.- HIPÉRBOLA: CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

FORMA ORDINARIA DE LA ECUACION DE LA HIEPERBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO A ALGUNO DE LOS EJES COORDINADOS.

Las ecuaciones correspondiente son:

〖(y-k)〗^2/a^2 - 〖(x-h)〗^2/b^2 =1 〖( x-h)〗^2/a^2 -〖( y-k)〗^2/b^2 =1

ECUACION DE LA HIPERBOLA VERTICAL Y HORIZONTAL CON CENTRO FUERA DELORIGEN

〖( x-h)〗^2/a^2 -〖( y-k)〗^2/b^2 =1

Esta es la ecuacion de la hiperbola en forma ordinaria con centro C(h,k) y eje focal paralelo ala eje x (hiperbola horizontal)

〖(y-k)〗^2/a^2 - 〖(x-h)〗^2/b^2 =1

Esta la ecuacion de la hiperbola en forma ordinaria con centro C(h,k) y eje focal (transverso) paralelo ala eje y (hiperbola vertical)

Si a estas ecuaciones las multiplicamos por a^2 b^2, desarrollamos los cuadrados , transponemos y ordenamos terminos, obtenemos en FORMA GENERAL de la hiperbola Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 cuyos ejes son paralelos alos ejes coordenados, dodnde los coeficientes A y C son de signo contrario, los coeficientes de priemer grado D y E indican qu el centro de la hiperbola esta fuera del origen, si D=0 el centro esta sobre el eje “y”, si E=0 estara sobre el eje “x”, el termino independiente F indica que la hiperbola no pasa por el origen y si F=0 entonces si pasa por el origen.

Cuando la ecuacion de uan hiperbola es dada en forma general, puede obtenerse su forma ordinaria mediente el metodo de completar cuadrados.

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA EQUILÁTERA REFERIDA A SUS PROPIAS ASÍNTOTAS.

xy=q=constante

Cuando la constante “q” es positiva, las ramas de la curva están contenidas en el primer y tercer cuadrantes; cuando es negativa se encuentran en el segundo y cuarto cuadrantes.

Para el caso de la hipérbola equilátera cuyas asíntotas son paralelas a los ejes de coordenadas.

La ecuación es: (x-h)(y-k)=q

7- EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA.

Es una característica de la forma de su rectángulo principal y por consiguiente de la forma de la misma hipérbola, quedando determinada por la relación de la distancia entre la distancia de los focos FF´ a la distancia entre sus vértices A´A, quedando indicada por e = c/a , como la hipérbola c >a se tiene que esta relación siempre es mayor que uno o sea que e>1 cuanto mas cercano es a uno este valor es mas alargado su rectángulo principales dirección de su eje focal, en el caso de la hipérbola equilátera, esta relación es e= √2.

Comprobando hipérbolas según su excentricidad

En esta gráfica se observa el efecto que tiene sobre las hipérbolas el aumento de la excentricidad: cuando mas pequeña es la excentricidad, más se cierras las ramas. Al hacer que la e aumente, las ramas de la hipérbola se abren sobre los ejes. La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.