LA HIPERBOLA

1.- DEFINICIÓN

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

La definición de la hipérbola excluye el caso en que el punto móvil se mueva sobre la recta que pasa por los puntos a excepción del segmento comprendido entre ellos. Los focos y el punto medio de este segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico.

La hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y F', es constante. Es decir: es siempre una cantidad constante 2a

Esto es |PF´-PF| = 2a

2.- ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA           

Si para una curva dada, existe una recta tal, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente en el origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dichas recta se llama asíntota de la curva.

Esta definición implica dos casos:

1)      Una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, si no que se extiende indefinidamente

2)      Una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado.

Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Si es paralela o coincide con el eje X,  se llama asíntota horizontal;  si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical; y si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados asíntota oblicua. Debemos tener presente que una curva no tiene necesariamente una o mas asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo, si una curva tiene asíntotas, su determinación será una gran ayuda para construir su grafica. 

Observa la Figura 10. En el punto P se ha dibujado la tangente a la hipérbola. Al hacer que P se aleje sobre la hipérbola, la tangente va disminuyendo su inclinación (ángulo que forma la recta con la horizontal), de manera que tiende a una posición límite (Figura 9), que coincide con una generatriz, y que pasa por el centro de la hipérbola.

                                                                       Figura 10

                                                                             Figura 9

De esta forma, la asíntota tendría la siguiente posición respecto a la hipérbola:

Colocando todos los elementos sobre el gráfico nos encontramos entonces con:

 Son las rectas de ecuaciones:

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

Estas ecuaciones provienen de la ecuación llamada simétrica: