Elevando al cuadrado de nuevo:

c^2 y^2-a^2 y^2-a^2 x^2=a^2 c^2-a^4

Factorizando:

(c^2-a^2 ) y^2-a^2 x^2=a^2 (c^2-a^2)

A observar la grafica detenidamente se muestra que podemos obtener la siguiente ecucion a partir del teorema de pitagoras

c^2=a^2+b^2   ∴  b^2=c^2-a^2

Sustituyendo, obtenemos la siguiente ecuacion:

b^2 y^2-a^2 x^2=a^2 b^2

Dividiendo entre a^2 b^2, se tiene la forma simetrica de la ecuacion de la hiperbola de este tipo:

y^2/a^2 -x^2/b^2 =1................................................................................................................................(III)

                              

6.- HIPÉRBOLA: CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

FORMA ORDINARIA DE LA ECUACION DE LA HIEPERBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO A  ALGUNO DE LOS EJES COORDINADOS.

Las ecuaciones correspondiente son:

〖(y-k)〗^2/a^2 -  〖(x-h)〗^2/b^2 =1           〖( x-h)〗^2/a^2 -〖( y-k)〗^2/b^2 =1

ECUACION DE LA HIPERBOLA VERTICAL Y HORIZONTAL CON CENTRO FUERA DELORIGEN

〖( x-h)〗^2/a^2 -〖( y-k)〗^2/b^2 =1  

Esta es la ecuacion de la hiperbola en forma ordinaria con centro C(h,k) y eje focal paralelo ala eje x (hiperbola horizontal)

〖(y-k)〗^2/a^2 -  〖(x-h)〗^2/b^2 =1     

Esta la ecuacion de la hiperbola en forma ordinaria con centro C(h,k) y eje focal (transverso) paralelo ala eje y (hiperbola vertical)    

 Si a estas ecuaciones  las multiplicamos por a^2 b^2, desarrollamos los cuadrados , transponemos y ordenamos terminos, obtenemos en FORMA GENERAL de la hiperbola Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 cuyos ejes son paralelos alos ejes coordenados, dodnde los coeficientes A y C son de signo contrario, los coeficientes de priemer grado D y E indican qu el centro de la hiperbola esta fuera del origen, si D=0 el centro esta sobre el eje “y”, si E=0 estara sobre el eje “x”, el termino independiente F indica que la hiperbola no pasa por el origen y si F=0 entonces si pasa por el origen.

Cuando la ecuacion de uan hiperbola es dada en forma general, puede obtenerse su forma ordinaria mediente el metodo de completar cuadrados.

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA EQUILÁTERA REFERIDA A SUS PROPIAS ASÍNTOTAS.

xy=q=constante

Cuando la constante “q” es positiva, las ramas de la curva están contenidas en el primer y tercer cuadrantes; cuando es negativa se encuentran en el segundo y cuarto cuadrantes.

Para el caso de la hipérbola equilátera cuyas asíntotas son paralelas a los ejes de coordenadas.

La ecuación es:                  (x-h)(y-k)=q

7- EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA.

Es una característica de la forma de su rectángulo principal y por consiguiente de la forma de la misma hipérbola, quedando determinada por la relación de la distancia entre la distancia de los focos  FF´ a la distancia entre sus vértices A´A, quedando indicada por  e = c/a , como la hipérbola       c >a se tiene que esta relación siempre es mayor que uno o sea que  e>1 cuanto mas cercano es a uno este valor es mas alargado su rectángulo principales dirección de su eje focal, en el caso de la hipérbola equilátera, esta relación  es  e= √2.

 Comprobando hipérbolas según su excentricidad

En esta gráfica se observa el efecto que tiene sobre las hipérbolas el aumento de la excentricidad: cuando mas pequeña es la excentricidad, más se cierras las ramas. Al hacer que la e aumente, las ramas de la hipérbola se abren sobre los ejes.  La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.